Baby Stepsなブログ

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エラトステネスの篩の実装

C++ アルゴリズム ライブラリ 競技プログラミング

エラトステネスの篩と、それを利用した素因数の高速列挙の実装をライブラリ化した。（どちらかというと後者の実装を残す目的で作った）

前提

高速素因数分解

  • エラトステネスの篩でnまでの整数を素数判定する過程で、各値の最小の素因数をテーブルmin_prime_factorに保存しておく
  • x / min_prime_factor[x]でxの約数が得られるので、値xの最小の素因数を確認すると同時に、xをその約数に上書きする
  • 上記をxが1になるまでの間繰り返すことで素因数を列挙できる
  • ループ回数は高々log x回なので、O(log x)

検証用問題

atcoder.jp

実装

/// エラトステネスの篩
struct Eratosthenes {
  vector<bool> is_prime;
  /// nまでの素数一覧
  vector<int> primes;
  /// 整数xの最小の素因数
  vector<int> min_prime_factor;

  Eratosthenes(const int n) {
    min_prime_factor.resize(n + 1);
    /// nまでの素数一覧
    is_prime.assign(n + 1, true);
    is_prime[0] = is_prime[1] = false;
    min_prime_factor[0] = min_prime_factor[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
      if (is_prime[i]) {
        for (int j = 2 * i; j <= n; j += i) {
          is_prime[j] = false;
          if (min_prime_factor[j] == 0)
            min_prime_factor[j] = i;
        }
        primes.push_back(i);
        min_prime_factor[i] = i;
      }
    }
  }

  /**
   * xの素因数の種類を取得
   * @param x n以下の数値を指定する必要がある
   */
  set<int> get_prime_factors(int x) {
    set<int> s;
    while (x > 1) {
      s.insert(min_prime_factor[x]);
      x /= min_prime_factor[x];
    }
    return s;
  }

  /**
   * xの素因数とその数を取得
   * @param x n以下の数値を指定する必要がある
   */
  map<int, int> get_prime_factor_and_cnt(int x) {
    map<int, int> mp;
    while (x > 1) {
      mp[min_prime_factor[x]]++;
      x /= min_prime_factor[x];
    }
    return mp;
  }
};