yukicoder バレンタインコンテスト2021 B Giri 解説

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問題

1～nからn-1個を選んで作れる最小公倍数のうち、その最小値を求め、998244353で割った余りを求めよ。

前提

• エラトステネスの篩

pione.hatenablog.com

解説

まず除外すべき1つの数は自明に、1～nの中の最大の素数である。

次にn-1個の数の最小公倍数を求め方について、結果が非常に大きな値になる可能性があるためlcm関数を使って求めることはできない。

この手の、n個全ての数の最小公倍数を求めたいが、結果が非常に大きくなる可能性があるからmodを取る問題の求め方は決まっていて、各要素を素因数分解すればよい。

各要素を素因数分解し、各素因数の種類とその最大個数が得られれば、（素因数）^（その個数）の全ての積が最小公倍数になる。

後は、上記をmodを取りながら計算すればよい。

高速素因数分解を行うためにエラトステネスの篩を行うため、計算量はO(n loglog n)となる。

実装

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const long long MOD = 998244353;

/// エラトステネスの篩
struct Eratosthenes {
  vector<bool> is_prime;
  /// nまでの素数一覧
  vector<int> primes;
  /// 整数xの最小の素因数
  vector<int> min_prime_factor;

  Eratosthenes(const int n) {
    min_prime_factor.resize(n + 1);
    /// nまでの素数一覧
    is_prime.assign(n + 1, true);
    is_prime[0] = is_prime[1] = false;
    min_prime_factor[0] = min_prime_factor[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
      if (is_prime[i]) {
        for (int j = 2 * i; j <= n; j += i) {
          is_prime[j] = false;
          if (min_prime_factor[j] == 0)
            min_prime_factor[j] = i;
        }
        primes.push_back(i);
        min_prime_factor[i] = i;
      }
    }
  }

  /**
   * xの素因数の種類を取得
   * @param x n以下の数値を指定する必要がある
   */
  set<int> get_prime_factors(int x) {
    set<int> s;
    while (x > 1) {
      s.insert(min_prime_factor[x]);
      x /= min_prime_factor[x];
    }
    return s;
  }

  /**
   * xの素因数とその数を取得
   * @param x n以下の数値を指定する必要がある
   */
  map<int, int> get_prime_factor_and_cnt(int x) {
    map<int, int> mp;
    while (x > 1) {
      mp[min_prime_factor[x]]++;
      x /= min_prime_factor[x];
    }
    return mp;
  }
};

signed main() {
  cin.tie(0);
  ios::sync_with_stdio(false);

  int n;
  cin >> n;
  auto e = Eratosthenes(n);
  auto ma = e.primes.back();

  map<int, int> mp;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    if (ma == i)
      continue;
    auto tmp = e.get_prime_factor_and_cnt(i);
    for (auto e : tmp) {
      mp[e.first] = max(mp[e.first], e.second);
    }
  }
  long long ans = 1;
  for (auto e : mp) {
    for (int i = 0; i < e.second; i++) {
      (ans *= e.first) %= MOD;
    }
  }
  cout << ans << endl;
}